6.4 Solving Triangle Problems

解题步骤：
1. 已知三边：AB = c = 5 cm, BC = a = 7 cm, CA = b = 6 cm
2. 使用余弦定理求∠A：cos A = (b² + c² - a²)/(2bc)
3. 代入：cos A = (36 + 25 - 49)/(2×6×5) = (61 - 49)/60 = 12/60 = 0.2
4. ∠A = arccos(0.2) ≈ 78.46°

解题步骤：
1. 先求∠C = 180° - 40° - 60° = 80°
2. 已知∠A = 40°，对边BC = a，对角A；∠B = 60°，对边AC = b
3. 使用正弦定理：a / sin A = b / sin B
4. 但未知b，需用已知边AB = c（对∠C）
5. 正弦定理：c / sin C = a / sin A
6. 8 / sin 80° = a / sin 40°
7. a = 8 × sin 40° / sin 80° ≈ 8 × 0.6428 / 0.9848 ≈ 5.25 cm

解题步骤：
1. 这是直角三角形，∠A = 90°，AB = 10 cm, AC = 8 cm
2. 面积 = (1/2) × AB × AC = (1/2) × 10 × 8 = 40 cm²
3. 或者使用公式：Area = (1/2) × AB × AC × sin 90° = (1/2) × 10 × 8 × 1 = 40 cm²

解题步骤：
1. 作对角线AC，将四边形分为△ABC和△ADC
2. 在△ABC中，已知AB = 5 cm, BC = 8 cm，求AC
3. 但需要更多信息。或许使用余弦定理需要知道角度
4. 或许使用坐标几何：将A置于(0,0)，B置于(5,0)，但需要更多信息
5. 实际上，这个问题信息不足，因为四边形没有指定角度或对角线信息
6. 或许题目是求两对角线之一，或者有更多条件
7. 让我重新理解：或许是已知所有边长，要求对角线长度
8. 但仅靠边长无法确定对角线长度，需要更多信息如角度或凸性
9. 或许题目有误，或者需要使用其他方法

解题步骤：
1. 设AC = x cm，则BC = 15 - 7 - x = (8 - x) cm
2. 使用余弦定理：在△ABC中，BC² = AB² + AC² - 2×AB×AC×cos 60°
3. 代入：(8 - x)² = 49 + x² - 2×7×x×0.5
4. 展开：64 - 16x + x² = 49 + x² - 7x
5. 简化：64 - 16x = 49 - 7x
6. -16x + 7x = 49 - 64
7. -9x = -15
8. x = 15/9 = 5/3 ≈ 1.67 cm
9. 则BC = 8 - 5/3 = (24 - 5)/3 = 19/3 ≈ 6.33 cm
10. 面积 = (1/2) × AB × AC × sin 60° = (1/2) × 7 × (5/3) × (√3/2) = (35√3)/12 ≈ 5.05 cm²

解题步骤：
1. 正方形边长10 cm，建立坐标系：A(0,0)，B(10,0)，C(10,10)，D(0,10)
2. ∠DAE = 40°，D(0,10)，A(0,0)，E在CD上
3. DA是垂直于x轴，从D到A是向下
4. ∠DAE是DA与AE的夹角
5. DA是沿y轴负方向，AE是从A到E
6. 设AE的斜率为m，tan 40° = m（因为与垂直线夹角40°）
7. 但DA是垂直的，所以AE与垂直线的夹角为40°，所以AE与水平线的夹角为50°
8. 或许用三角函数求E和F的坐标
9. 设AE与x轴夹角为θ，则tan θ = tan(90° - 40°) = cot 40° ≈ 1/tan 40° ≈ 1.1918
10. 或许需要更多具体计算，但由于题目较复杂，这里给出一个简化解答思路